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"Rappelons qu'une série est une somme infinie de nombres $$a_1+a_2+a_3+\cdots$$ et qu'une série est convergente si la suite $(S_n)$ définie par $$S_n=\sum_{k=1}^n a_k$$ est convergente. Nous allons démontrer que toute série converge vers $\pi.$ On a en effet :"

"En ajoutant toutes ces égalités, on obtient l'égalité suivante : \begin{eqnarray*} a_1+a_2+a_3+\cdots&=&\pi+(a_1-\pi)\\ &&-(a_1-\pi)+(a_1+a_2-\pi)\\ &&-(a_1+a_2-\pi)+(a_1+a_2+a_3-\pi)\\ &&-(a_1+a_2+a_3-\pi)+(a_1+a_2+a_3+a_4-\pi)+\cdots \end{eqnarray*} En regroupant les termes à droite (le 2ème et le 3ème, le 4ème et le 5ème,...), on obtient bien $$a_1+a_2+a_3+\cdots=\pi.$$ Etonnant non? Mais il y a encore plus fort! Si on choisit une série où $a_2=a_3=\cdots=0,$ on obtient : $$a_1=\pi.$$"

"Tout nombre réel est égal à $\pi$ ! Cette fois, c'est sûr, il y a une erreur ! Mais où est-elle ?"

"On ne peut pas manier les sommes infinies sans précautions. En particulier, on ne peut pas, comme on l'a fait ici, regrouper des termes comme on le souhaite, et comme on peut le faire avec une somme finie. Ici, si on fait la manipulation (autorisée) avec les sommes finies, on obtient, pour tout entier naturel $n\geq 1,$ $$a_1+\cdots+a_n=\pi+(a_1+\cdots+a_n-\pi).$$ Pour passer à la limite, et ainsi réaliser la manipulation sur la somme infinie, il faut et il suffit que $$\lim_{n\to+\infty}(a_1+\cdots+a_n-\pi)=0.$$ Ceci signifie exactement que la série converge vers $\pi.$ Donc notre "démonstration" prouve que toute série qui converge vers $\pi$ converge vers $\pi$ ... Pas très intéressant !"

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